Exercice 20, § 8

Soient $A$ un anneau commutatif, $M$ un $A$-module quelconque, $U = (\alpha_{ij})$ une matrice de type $(m, n)$ à éléments dans $A$. a) Supposons $m = n$, et soit $\Delta = \det(U)$; alors, si $x_1, \ldots, x_n$ sont des éléments de $M$ tels que $\sum_{j=1}^n \alpha_{ij} x_j = 0$ pour $1 \leq i \leq n$, on a $\Delta x_i = 0$ pour tout indice $i$. b) Supposons $m, n$ quelconques, tous les mineurs d’ordre $> r$ de $U$ nuls et un mineur d’ordre $r$ inversible, par exemple celui de la matrice $(\alpha_{ij})$ où $i \leq r$ et $j \leq r$; alors, si $a_i$ désigne la ligne d’indice $i$ dans $U$, les $a_i$ d’indice $\leq r$ forment une base du sous-module de $A^n$ engendré par toutes les lignes de $U$; pour $i > r$, on a donc $a_i = \sum_{k=1}^r \lambda_{ik} a_k$. Soient alors $y_1, \ldots, y_m$ des éléments de $M$; pour qu’il existe des éléments $x_1, \ldots, x_n$ de $M$ vérifiant le système d’équations $\sum_{j=1}^n \alpha_{ij} x_j = y_i$ pour $1 \leq i \leq m$, il faut et il suffit que l’on ait $y_i = \sum_{k=1}^r \lambda_{ik} y_k$ pour $i > r$.