Bài tập 20, § 8

Cho $A$ là một vành giao hoán, $M$ là một $A$-môđun tùy ý và $U = (\alpha_{ij})$ là một ma trận kiểu $(m, n)$ với các phần tử trong $A$.

(a) Giả sử rằng $m = n$ và đặt $\Delta = \det(U)$; khi đó, nếu $x_1, \ldots, x_n$ là các phần tử của $M$ sao cho $\sum_{j=1}^n \alpha_{ij} x_j = 0$ với $1 \leq i \leq n$, thì $\Delta x_i = 0$ với mọi chỉ số $i$.

(b) Giả sử rằng $m$ và $n$ là tùy ý, rằng mọi định thức con của $U$ có cấp $> r$ đều bằng không và rằng một định thức con cấp $r$ là khả nghịch, chẳng hạn định thức con của ma trận $(\alpha_{ij})$ trong đó $i \leq r$ và $j \leq r$; khi đó nếu $a_i$ ký hiệu hàng có chỉ số $i$ trong $U$, thì các $a_i$ có chỉ số $\leq r$ lập thành một cơ sở của môđun con của $A^n$ sinh bởi tất cả các hàng của $U$; do đó, với $i > r$, $a_i = \sum_{k=1}^r \lambda_{ik} a_k$. Khi đó cho $y_1, \ldots, y_m$ là các phần tử của $M$; để tồn tại các phần tử $x_1, \ldots, x_n$ của $M$ thỏa mãn hệ phương trình $\sum_{j=1}^n \alpha_{ij} x_j = y_i$ với $1 \leq i \leq m$, điều kiện cần và đủ là $y_i = \sum_{k=1}^r \lambda_{ik} y_k$ với $i > r$.