Exercice 21, § 8

Soient $K$ un corps commutatif infini, $m, n, r$ trois entiers $\geq 0$ tels que $r \leq n \leq m$, $\mathbf{M}_{m,n}(K)$ le $K$-espace vectoriel (de dimension $mn$) formé des matrices de type $(m, n)$ sur $K$,

V un sous-espace vectoriel de $\mathbf{M}_{m,n}(K)$ tel que $r$ soit la plus grande valeur du rang des matrices $X \in V$. On se propose de prouver l’inégalité

(*)

a) Montrer qu’on peut supposer que $m = n$ et que la matrice

appartient à V. En déduire que toute matrice $X \in V$ est alors de la forme (où $X_{11}$ est d’ordre $r$) avec la condition $X_{21}X_{12} = 0$ (écrire que pour tout $\xi \in K$, la matrice $\xi X_0 + X$ est de rang $\leq r$).

b) Déduire de a) que pour deux matrices $X, Y$ dans V, on a

c) Pour toute matrice $X \in V$, on pose $f(X) = (X_{11}\ X_{12}) \in \mathbf{M}_{r,n}(K)$; $f$ est une application linéaire et on a $\dim(V) = \dim(\operatorname{Im}(f)) + \dim(\operatorname{Ker}(f))$. D’autre part, on note $u_X$ la forme linéaire $(Y_{11}\ Y_{12}) \mapsto \operatorname{Tr}(X_{21}Y_{12})$ sur $\mathbf{M}_{r,n}(K)$. Montrer que l’application linéaire $X \mapsto u_X$ de $\operatorname{Ker}(f)$ dans le dual $(\mathbf{M}_{r,n}(K))^*$ est injective; achever de prouver (*) en notant que l’image par $X \mapsto u_X$ de $\operatorname{Ker}(f)$ est contenue dans l’orthogonal de $\operatorname{Im}(f)$.