Bài tập 21, § 8

Cho $K$ là một trường giao hoán vô hạn, $m, n, r$ là ba số nguyên $\geq 0$ sao cho $r \leq n \leq m$, $\mathbf{M}_{m,n}(K)$ là $K$-không gian vectơ (có chiều $mn$) gồm các ma trận kiểu $(m, n)$ trên $K$ và $V$ là một không gian con vectơ của $\mathbf{M}_{m,n}(K)$ sao cho $r$ là giá trị lớn nhất của hạng của các ma trận $X \in V$. Ta đề nghị chứng minh bất đẳng thức

(*) $\dim(V) \leq mr.$

(a) Chứng minh rằng ta có thể giả sử rằng $m = n$ và ma trận

thuộc V. Suy ra rằng khi đó mọi ma trận $X \in V$ đều có dạng

(trong đó $X_{11}$ có cấp $r$) với điều kiện $X_{21}X_{12} = 0$ (dùng sự kiện rằng với mọi $\xi \in K$, ma trận $\xi X_0 + X$ có hạng $\leq r$).

(b) Suy ra từ (a) rằng, với hai ma trận $X, Y$ trong V,

(c) Đối với mọi ma trận $X \in V$, ta viết $F(X) = (X_{11}X_{12}) \in M_{r,n}(K); f$ là một ánh xạ tuyến tính và $\dim(V) = \dim(\operatorname{Im}(f)) + \dim(\operatorname{Ker}(f))$. Mặt khác, gọi $u_x$ là dạng tuyến tính $(Y_{11}Y_{12}) \mapsto \operatorname{Tr}(X_{21}Y_{12})$ trên $M_{r,n}(K)$. Chứng minh rằng ánh xạ tuyến tính $X \mapsto u_X$ từ $\operatorname{Ker}(f)$ vào đối ngẫu $(M_{r,n}(K))^*$ là đơn ánh; hoàn thành chứng minh của (*) bằng cách nhận thấy rằng ảnh qua $X \mapsto u_X$ của $\operatorname{Ker}(f)$ được chứa trong trực giao của $\operatorname{Im}(f)$.