Exercice 26, § 8

a) Avec les notations de la prop. 19 (III, p. 106), supposons qu’il existe deux applications $A[X]$-linéaires $g_1, g_2$ de $M[X]$ dans $M'[X]$ telles que $\psi' \circ g_2 = g_1 \circ \psi$; montrer qu’il existe alors une application $A[X]$-linéaire $g$ de $M_u$ dans $M'_u$ telle que $\varphi' \circ g_1 = \varphi' \circ \bar{g}$. En outre, si $g_1$ et $g_2$ sont des $A[X]$-isomorphismes de $M[X]$ sur $M'[X]$, $g$ est un $A[X]$-isomorphisme de $M_u$ sur $M'_u$.

b) Avec les notations de III, p. 105, on dit que les endomorphismes $u, u'$ sont équivalents s’il existe deux isomorphismes $f_1, f_2$ de $M$ sur $M'$ tels que $u' \circ f_2 = f_1 \circ u$; on dit qu’ils sont semblables s’il existe un isomorphisme $f$ de $M$ sur $M'$ tel que $u' \circ f = f \circ u$. Déduire de a) que, pour que $u$ et $u'$ soient semblables, il faut et il suffit que les endomorphismes $X - \bar{u}$ et $X - \bar{u}'$ (des $A[X]$-modules $M[X]$ et $M'[X]$ respectivement) soient équivalents.