Bài tập 26, § 8

(a) Theo ký hiệu của Mệnh đề 19 (no. 10), giả sử tồn tại hai ánh xạ $A[X]$-tuyến tính $g_1, g_2$ từ $M[X]$ vào $M'[X]$ sao cho $\psi' \circ g_2 = g_1 \circ \psi$; hãy chứng minh rằng khi đó tồn tại một ánh xạ $A[X]$-tuyến tính $g$ từ $M_u$ vào $M'_u$, sao cho $\phi' \circ g_1 = \phi' \circ \bar{g}$. Hơn nữa, nếu $g_1$ và $g_2$ là các đẳng cấu $A[X]$ từ $M[X]$ lên $M'[X]$, thì $g$ là một đẳng cấu $A[X]$ từ $M_u$ lên $M'_u$.

(b) Theo ký hiệu của no. 10, các tự đồng cấu $u, u'$ được gọi là tương đương nếu tồn tại hai đẳng cấu $f_1, f_2$ từ $M$ lên $M$ sao cho $u' \circ f_2 = f_1 \circ u$; chúng được gọi là đồng dạng nếu tồn tại một đẳng cấu $f$ từ $M$ lên $M'$ sao cho $u' \circ f = f \circ u$. Suy ra từ (a) rằng, để $u$ và $u'$ đồng dạng, điều kiện cần và đủ là các tự đồng cấu $X - \bar{u}$ và $X - \bar{u}'$ (của các $A[X]$-môđun $M[X]$ và $M'[X]$ tương ứng) phải tương đương.