Exercice 7, § 8

Soit $\Delta = \det(\alpha_{ij})$ le déterminant d’une matrice $U$ d’ordre $n$; pour chaque indice $i$ ($1 \leq i \leq n$), on désigne par $\Delta_i$ le déterminant obtenu en multipliant dans $U$ l’élément $\alpha_{ij}$ par $\beta_j$ pour $1 \leq j \leq n$. Montrer que la somme des $n$ déterminants $\Delta_i$ ($1 \leq i \leq n$) est égale à $(\beta_1 + \beta_2 + \cdots + \beta_n)\Delta$ (développer $\Delta_i$ suivant la ligne d’indice $i$).