Exercice 8, § 8

Soit $\Delta = \det(\alpha_{ij})$ le déterminant d’une matrice $U$ d’ordre $n$, et $\sigma$ une permutation appartenant à $\mathfrak{S}_n$; pour chaque indice $i$ ($1 \leq i \leq n$), soit $\Delta_i$ le déterminant de la matrice obtenue en remplaçant dans $U$ l’élément $\alpha_{ij}$ par $\alpha_{i, \sigma(j)}$ pour $1 \leq j \leq n$; si $p$ est le nombre d’indices invariants par la permutation $\sigma$, montrer que la somme des $n$ déterminants $\Delta_i$ ($1 \leq i \leq n$) est égale à $p\Delta$ (même méthode que dans l’exerc. 7).