Exercice 1, § 9

Soient $K$ un corps commutatif ayant au moins 3 éléments, $A$ l’algèbre sur $K$ ayant une base formée de l’élément unité 1 et de deux éléments $e_1, e_2$ tels que $e_1^2 = e_1, e_1 e_2 = e_2, e_2 e_1 = e_2^2 = 0$; soit $A^\circ$ l’algèbre opposée de $A$. Montrer qu’il existe dans $A$ des éléments $x$ tels que $\mathrm{Tr}_{A/K}(x) \neq \mathrm{Tr}_{A^\circ/K}(x)$ et $\mathrm{N}_{A/K}(x) \neq \mathrm{N}_{A^\circ/K}(x)$.