Exercice 2, § 1

Soit $f$ un polynôme $\neq 0$ de $A[X]$, de degré $n$, de coefficient dominant $x_0$. Soit M le sous-module de $A[X]$ (considéré comme A-module) formé des polynômes dont le coefficient du terme de degré $m$ ($m$ quelconque dans $\mathbf{N}$) est divisible par $x_0^\mu$, où $\mu = \operatorname{Max}(m - n + 1, 0)$; montrer que, pour tout polynôme $g \in M$, il existe deux polynômes $u, v$ de $A[X]$ tels que $\deg v < n$ et $g = uf + v$.