Exercice 4, § 2

On suppose qu’il existe un sous-groupe infini $G$ du groupe additif $A$, dont les éléments $\neq 0$ ne sont pas diviseurs de $0$ dans $A$. Montrer que l’application $f \mapsto \tilde{f}$ de $A[X_1, ..., X_n]$ dans l’algèbre des applications de $A^p$ dans $A$, est injective (remarquer qu’un polynôme de degré $n$ par rapport à une indéterminée ne peut avoir plus de $n$ racines distinctes appartenant à $G$). Il en est ainsi en particulier quand il existe dans $A$ un élément $x_0$ non diviseur de $0$ et d’ordre infini dans le groupe additif $A$.