Exercice 15, § 5

Les notations sont celles de l’exerc. 14. Soient E, F, G trois k-modules, σ ∈ S(E, F), τ ∈ S(F, G). On suppose que σ est d’ordre ≥ 1. La série τ ◦ A(σ) ∈ S(E, G) est appelée la série composée de σ et τ ; elle se note τ ◦ σ. a) Soient φ une loi polynôme de E dans F (exerc. 9) et ψ une loi polynôme de F dans G. On note respectivement σ_φ et σ_ψ les séries associées à φ et ψ. Montrer que si la composante homogène de degré 0 de φ est nulle, alors σ_φ est d’ordre ≥ 1 et σ_ψ ◦ σ_φ est la série associée à la loi polynôme ψ ◦ φ.

b) Montrer que si $\sigma$ est d’ordre $\geq p$ et si $\tau$ est d’ordre $\geq q$, alors $\tau \circ \sigma$ est d’ordre $\geq pq$. c) Montrer que pour tout entier $p$, $(\tau \circ \sigma)^{(p)} = \tau^{(p)} \circ A(\sigma)$. En déduire que si $\tau$ est d’ordre $\geq 1$ et si $H$ est un $k$-module, pour tout $\rho \in S(G, H)$, on a $(\rho \circ \tau) \circ \sigma = \rho \circ (\tau \circ \sigma)$. d) On suppose que $G$ est une $k$-algèbre. Montrer que l’application $\tau \mapsto \tau \circ A(\sigma)$ est un homomorphisme de l’algèbre $S(F, G)$ dans l’algèbre $S(E, G)$.