Bài tập 15, § 5

Theo ký hiệu như trong Ví dụ 14, cho $E, F, G$ là ba K-môđun, $\sigma \in S(E, F)$, $\tau \in S(F, G)$, và giả sử $\sigma$ có cấp $\geq 1$. Chuỗi $\tau \circ A(\sigma) \in S(E, G)$ được gọi là hợp thành của $a$ và $\tau$; nó được ký hiệu bởi $\tau \circ a$. a) Cho $\varphi$ là một luật đa thức từ $E$ vào $F$ (Ví dụ 9) và $\psi$ là một luật đa thức từ $F$ vào $G$, và ký hiệu $a_\varphi$ và $\sigma_\psi$ lần lượt là các chuỗi liên kết với $\varphi$ và $\psi$. Chứng minh rằng nếu thành phần thuần nhất bậc 0 của $\varphi$ là không, thì $\sigma_\varphi$ có cấp $\geq 1$ và $\sigma_\psi \circ \sigma_\varphi$ là chuỗi liên kết với luật đa thức $\psi \circ \varphi$. b) Chứng minh rằng nếu $a$ có cấp $\geq p$ và $\tau$ có cấp $\geq q$, thì $\tau \circ \sigma$ có cấp $\geq pq$. c) Chứng minh rằng với mọi số nguyên $p$, $(\tau \circ \sigma)^{(p)} = \tau^{(p)} \circ A(\sigma)$. Suy ra rằng nếu $\tau$ có cấp $\geq 1$ và nếu $H$ là một K-môđun, thì với mọi $\rho \in S(G, H)$ ta có $(\rho \circ \tau) \circ a = \rho \circ (\tau \circ \sigma)$. d) Giả sử rằng $G$ là một đại số trên K. Chứng minh rằng ánh xạ $\tau \mapsto \tau \circ A(\sigma)$ là một đồng cấu của đại số $S(F, G)$ vào đại số $S(E, G)$.