Exercice 16, § 5

Soient $E$ et $F$ deux modules sur l’anneau commutatif $k$ et soit $p$ un entier $\geq 0$. a) Montrer que si $p \leq 2$, l’application $\lambda_p$ de $\mathrm{Hom}(\Gamma_p(E), F)$ dans $F^E$ qui associe à $\sigma$ l’application $\sigma \circ \gamma_p$ est une application injective. b) Montrer que $\lambda_1$ a pour image $\mathrm{Hom}_k(E, F)$. Montrer que $\lambda_2$ a pour image l’ensemble des applications $g$ de $E$ dans $F$ telles que : (i) $g(ax) = a^2g(x)$ quels que soient $a \in k$ et $x \in E$; (ii) l’application $(x, y) \mapsto g(x + y) - g(x) - g(y)$ est une application bilinéaire de $E \times E$ dans $F$. c) Montrer que si $E$ est un $k$-module libre, l’image de $\lambda_p$ est le module $\mathrm{Pol}_k^p(E, F)$ des applications polynomiales homogènes de degré $p$ de $E$ dans $F$.