Bài tập 16, § 5

Cho $E$ và $F$ là hai môđun trên một vành giao hoán $k$ và cho $p$ là một số nguyên $\geq 0$.

a) Chứng minh rằng nếu $p \leq 2$, thì ánh xạ $\lambda_p$ từ $\mathrm{Hom}(\Gamma_p(E), F)$ vào $F^E$ gán cho $\sigma$ ánh xạ $\sigma \circ \gamma_p$ là một ánh xạ đơn ánh. b) Chứng minh rằng $A$, có ảnh là $\mathrm{Hom}_k(E, F)$. Chứng minh rằng $A$, có ảnh là tập hợp tất cả các ánh xạ $g$ từ $E$ vào $F$ sao cho: (i) $g(ax) = a^2g(x)$ với mọi $a \in k$ và $x \in E$; (ii) ánh xạ $(x, y) \mapsto g(x + y) - g(x) - g(y)$ là một ánh xạ song tuyến tính từ $E \times E$ vào $F$. c) Chứng minh rằng nếu $E$ là một $k$-môđun tự do, thì ảnh của $\lambda_p$ là môđun $\mathrm{Pol}_k^p(E, F)$ gồm các ánh xạ đa thức thuần nhất bậc $p$ từ $E$ vào $F$.