Exercice 2, § 5

(Foncteur $\Gamma$) On désigne par $k$ un anneau commutatif et par $E$ un $k$-module. On appelle algèbre gamma de $E$ l’algèbre associative unifère commutative définie par le système de générateurs $\mathbf{N} \times E$ et par les relateurs (cf. III, p. 23)

où $p, q$ parcourent $\mathbf{N}$, $x, y$ parcourent $E$ et $\lambda$ parcourt $k$. Cette algèbre est notée $\Gamma(E)$. Pour tout $p \in \mathbf{N}$, on note $\gamma_p$ l’application de $E$ dans $\Gamma(E)$ composée de l’injection $x \mapsto (p, x)$ et de l’homomorphisme canonique de l’algèbre commutative libre sur $\mathbf{N} \times E$ dans $\Gamma(E)$. a) Vérifier que pour tout $x \in E$, la suite $\gamma_p(x)$ est une suite de type exponentiel d’éléments de $\Gamma(E)$ (exerc. 1) et que l’application $\gamma : x \mapsto (\gamma_p(x))_{p \in \mathbf{N}}$ est un homomorphisme du $k$-module $E$ dans la $k$-algèbre $\mathscr{E}(\Gamma(E))$. b) (Propriété universelle de $\Gamma(E)$) Soient $B$ une $k$-algèbre associative commutative unifère et $\varphi$ un homomorphisme du $k$-module $E$ dans $\mathscr{E}(B)$. Montrer qu’il existe un homomorphisme d’algèbres et un seul $h : \Gamma(E) \to B$ tel que $\varphi = \mathscr{E}(h) \circ \gamma$. c) Montrer qu’il existe un homomorphisme unifère d’algèbres $\varepsilon : \Gamma(E) \to k$ et un seul tel que $\varepsilon(\gamma_p(x)) = 0$ pour tout $p > 0$ et tout $x \in E$. d) Pour tout $p \in \mathbf{N}$, soit $\Gamma_p(E)$ le sous-module de $\Gamma(E)$ engendré par les éléments

où $s \in \mathbf{N}$, $\nu \in \mathbf{N}^s$ et où $|\nu| = \sum_i \nu_i = p$. Vérifier que les sous-modules $\Gamma_p(E)$ forment une graduation de l’algèbre $\Gamma(E)$. Montrer que $\gamma_1$ est un isomorphisme de $E$ sur $\Gamma_1(E)$ (pour vérifier que $\gamma_1$ est injectif, considérer l’algèbre $B = k \times E$ dont le produit est défini par la formule $(\lambda, x) (\mu, y) = (\lambda \mu, \lambda y + \mu x)$ et montrer qu’il existe un homomorphisme de $\Gamma(E)$ dans $B$ qui applique $\gamma_1(x)$ sur $(0, x)$ quel que soit $x \in E$.

e) Soient $E$ et $F$ deux $k$-modules et $h$ un homomorphisme de $E$ dans $F$. Montrer qu’il existe un homomorphisme d’algèbres graduées $\Gamma(h): \Gamma(E) \to \Gamma(F)$ et un seul tel que $\gamma_p \circ h = \Gamma(h) \circ \gamma_p$ pour tout $p \in \mathbf{N}$. Vérifier que si $g$ et $h$ sont des homomorphismes de $k$-modules tels que $g \circ h$ soit défini, alors $\Gamma(g \circ h) = \Gamma(g) \circ \Gamma(h)$.

f) Soit $h : E \to F$ un homomorphisme surjectif de $k$-modules. Montrer que $\Gamma(h)$ est surjectif et que son noyau est l’idéal de $\Gamma(E)$ engendré par les éléments $\gamma_p(x)$ avec $p > 0$ et $x \in \mathrm{Ker}(h)$.

g) Soient $E$ et $F$ deux $k$-modules. Montrer qu’il existe un homomorphisme $\varphi$ de l’algèbre $\Gamma(E \times F)$ dans l’algèbre $\Gamma(E) \otimes_k \Gamma(F)$ et un seul tel que

quels que soient $p \in \mathbf{N}$, $x \in E$ et $y \in F$. Montrer que cet homomorphisme est un isomorphisme compatible avec les graduations.