Bài tập 2, § 5

(Hàm tử $\Gamma$) Ký hiệu $k$ là một vành giao hoán và $E$ là một $k$-môđun. Ta hiểu đại số gamma của $E$ là đại số kết hợp giao hoán có đơn vị được xác định bởi hệ sinh $N \times E$ và bởi các hệ thức xác định (x. III, p. 450)

trong đó $p, q$ chạy qua $\mathbf{N}$, $x, y$ chạy qua $E$ và $\lambda$ chạy qua $k$. Đại số này được ký hiệu bởi $\Gamma(E)$. Với mỗi $p \in \mathbf{N}$ ta ký hiệu bởi $\gamma_p$ ánh xạ từ $E$ vào $\Gamma(E)$ hợp thành của đơn ánh $x \mapsto (p, x)$ và đồng cấu chính tắc của đại số giao hoán tự do trên $N \times E$ vào $\Gamma(E)$. a) Kiểm tra rằng với mỗi $x \in E$, dãy $\gamma_p(X)$ là một dãy kiểu mũ gồm các phần tử của $\Gamma(E)$ (Bài tập 1) và rằng ánh xạ $y : x \mapsto (\gamma_p(x))_{p \in \mathbf{N}}$ là một đồng cấu của $k$-môđun $E$ vào $k$-đại số $\mathscr{E}(\Gamma(E))$. b) (Tính chất phổ quát của $\Gamma(E)$). Cho $B$ là một $k$-đại số kết hợp giao hoán có đơn vị và $\varphi$ là một đồng cấu của $k$-môđun $E$ vào $\mathscr{E}(B)$. Chứng minh rằng tồn tại một đồng cấu đại số duy nhất $h : \Gamma(E) \to B$ sao cho $\varphi = \mathscr{E}(h) \circ y$. c) Chứng minh rằng tồn tại một đồng cấu đại số có đơn vị duy nhất $\varepsilon : \Gamma(E) \to k$ sao cho $\varepsilon(\gamma_p(x)) = 0$ với mọi $p > 0$ và mọi $x \in E$. d) Với mỗi $p \in \mathbf{N}$, gọi $\Gamma_p(E)$ là môđun con của $\Gamma(E)$ sinh bởi các phần tử

trong đó $s \in \mathbf{N}$, $\nu \in \mathbf{N}^s$ và $|\nu| = \sum_i \nu_i = p$. Hãy kiểm tra rằng các môđun con $\Gamma_p(E)$ lập thành một phân bậc của đại số $\Gamma(E)$. Chứng minh rằng $\gamma_1$ là một đẳng cấu từ $E$ lên $\Gamma_1(E)$ (để kiểm tra rằng $\gamma_1$ là đơn ánh, hãy xét đại số $B = k \times E$ với tích được xác định bởi công thức $(\lambda, x)(\mu, y) = (\lambda \mu, \lambda y + \mu x)$ và chứng minh rằng tồn tại một đồng cấu từ $\Gamma(E)$ vào $B$ ánh xạ $\gamma_1(x)$ tới $(0, x)$ với mọi $x \in E$. e) Cho $E$ và $F$ là hai $k$-môđun và $h$ là một đồng cấu từ $E$ vào $F$. Chứng minh rằng tồn tại một đồng cấu duy nhất của các đại số phân bậc $\Gamma(h) : \Gamma(E) \to \Gamma(F)$ sao cho $\gamma_p \circ h = \Gamma(h) \circ \gamma_p$ với mọi $p \in \mathbf{N}$. Hãy kiểm tra rằng nếu $g$ và $h$ là các đồng cấu của $k$-môđun sao cho $g \circ h$ xác định được, thì $\Gamma(g \circ h) = \Gamma(g) \circ \Gamma(h)$.

f) Cho h : E → F là một đồng cấu toàn ánh của các k-môđun. Chứng minh rằng Γ(h) là toàn ánh và hạt nhân của nó là iđêan của Γ(E) sinh bởi các phần tử γ_p(x) với p > 0 và x ∈ Ker(h).

g) Cho E và F là hai k-môđun. Chứng minh rằng tồn tại một đồng cấu duy nhất φ từ đại số T(E × F) vào đại số Γ(E) ⊗_k Γ(F) sao cho

với mọi p ∈ N, x ∈ E và y ∈ F. Chứng minh rằng đồng cấu này là một đẳng cấu tương thích với các phân bậc.