Exercice 8, § 5

Soient $k$ un anneau commutatif et E un $k$-module. a) Montrer qu’il existe un homomorphisme $g$ de l’algèbre $\Gamma(E)$ (exerc. 2) dans l’algèbre $TS(E)$ des tenseurs symétriques sur E (IV, p. 41) et un seul tel que

quels que soient $x \in E$ et $p \in \mathbf{N}$. Montrer que si E est un $k$-module libre ayant pour base $(e_i)_{i \in I}$, alors $g$ est un isomorphisme de bigèbres graduées (cf. exerc. 3 et IV, p. 48) et les éléments

forment une base de $\Gamma(E)$.

b) Soit $\xi$ une application de $[1, n]$ dans $\mathbf{N}$ et soit $p = \sum_{i=1}^n \xi(i)$. Montrer que pour toute suite $x_1, x_2, \ldots, x_n$ d’éléments de E, l’image de $\gamma_{\xi(1)}(x_1) \ldots \gamma_{\xi(n)}(x_n)$ par $g$ est $\sum_{\varphi} x_{\varphi(1)} \otimes \ldots \otimes x_{\varphi(p)}$

où $\varphi$ parcourt l’ensemble des applications de $[1, p]$ dans $[1, n]$ telles que Card $\varphi^{-1}(i) = \xi(i)$ pour tout $i \in [1, n]$ (cf. IV, p. 43, prop. 3).

c) Soit $f$ l’application de $\otimes^p E$ dans $\Gamma_p(E)$ définie par $f(x_1 \otimes \ldots \otimes x_p) = \gamma_1(x_1) \ldots \gamma_1(x_p)$

quels que soient $x_1, \ldots, x_p \in E$. Montrer que pour tout tenseur $t \in \otimes^p E$, alors $(g \circ f)(t)$ est le symétrisé de t. Montrer que pour tout $u \in \Gamma_p(E)$, on a $(f \circ g)(u) = p! \cdot u$.