Bài tập 8, § 5

Cho k là một vành giao hoán và E là một K-môđun. a) Chứng minh rằng tồn tại một đồng cấu duy nhất g của đại số $\Gamma(E)$ (Bài tập 2) vào đại số $TS(E)$ của các tenxơ đối xứng trên E (IV, p. 43) sao cho

với mọi $x \in E, p \in \mathbf{N}$. Chứng minh rằng nếu E là một K-môđun tự do có cơ sở $(e_i)_{i \in I}$, thì g là một đẳng cấu của các đại số kép phân bậc (x. Bài tập 3 và IV, p. 51) và các phần tử $\gamma_a = \prod \gamma_{a(i)}(e_i)$, trong đó $a \in \mathbf{N}^{(I)}$, lập thành một cơ sở của $\Gamma(E)$.

b) Cho $\xi$ là một ánh xạ của $(1, n)$ vào $\mathbf{N}$ và đặt $p = \sum_{i=1}^n \xi(i)$. Chứng minh rằng với mọi dãy $x_1, x_2, \ldots, x_n$ các phần tử của E, ảnh của $\gamma_{\xi(1)}(x_1) \ldots \gamma_{\xi(n)}(x_n)$ dưới g là $\sum \varphi_{\varphi(1)} \otimes \ldots \otimes \varphi_{\varphi(p)}$ trong đó $\varphi$ chạy qua tập hợp tất cả các ánh xạ của $(1, p)$ vào $(1, n)$ sao cho Card $\varphi^{-1}(i) = \xi(i)$ với mỗi $i \in (1, n)$ (x. IV, p. 45, Prop. 3). c) Cho f là ánh xạ từ $\otimes^p E$ vào $\Gamma_p(E)$ được xác định bởi $f(x_1 \otimes \ldots \otimes x_p) = \gamma_1(x_1) \ldots \gamma_1(x_p)$ với mọi $x_1, \ldots, x_p \in E$. Chứng minh rằng với mỗi tenxơ $t \in \otimes^p E$, $(g \circ f)(t)$ là đối xứng hóa của t. Chứng minh rằng với mỗi $u \in \Gamma_p(E)$ ta có $(f \circ g)(u) = p! \ u$.