Exercice 13, § 6

Soit $n \geq 1$ un entier. Ordonnons lexicographiquement les éléments de $\mathbf{N}^n$ (notation $\alpha \leq \beta$). Pour tout $\alpha \in \mathbf{N}^n$, soit $T_\alpha$ l’ensemble des éléments de $\mathbf{Z}[X_1, \ldots, X_n]$ de la forme $X^\alpha + \sum_{\beta < \alpha} u_{\alpha \beta} X^\beta$ (avec $u_{\alpha \beta} \in \mathbf{Z}$). a) Montrer que le produit d’un élément de $T_\alpha$ et d’un élément de $T_\beta$ appartient à $T_{\alpha + \beta}$. b) Soit $\varepsilon_k$ l’élément $(1, 1, \ldots, 1, 0, \ldots, 0)$ de $\mathbf{N}^n$. Montrer qu’on a $s_k \in T_{\varepsilon_k}$. En déduire que

c) Avec les notations de IV, p. 62, en déduire qu’on a $c_{\alpha \alpha} = d_{\alpha \alpha} = 1$ pour $\alpha \in D_k$ et $c_{\alpha \beta} = d_{\alpha \beta} = 0$ si $\alpha < \beta$.