Bài tập 13, § 6

Cho $n \geq 1$ là một số nguyên, và sắp thứ tự các phần tử của $\mathbf{N}^n$ theo thứ tự từ điển (ký hiệu $a \leq \beta$). Với mỗi $a \in \mathbf{N}^n$ gọi $T_a$ là tập hợp các phần tử của $\mathbf{Z}[X_1, \ldots, X_n]$ có dạng $X^\alpha + \sum u_{\alpha \beta} X^\beta$ (với $u_{\alpha \beta} \in \mathbf{Z}$).

a) Chứng minh rằng tích của một phần tử của $T_a$ với một phần tử của $T_\beta$ thuộc $T_{\alpha + \beta}$.

b) Gọi $\varepsilon_k$ là phần tử $(1, 1, \ldots, 1, 0, \ldots, 0)$ của $\mathbf{N}^n$. Chứng minh rằng $s_k \in T_{\varepsilon_k}$. Suy ra rằng

thuộc $T_a$, với $a \in \mathbf{N}^n$ sao cho $a_1 \geq a_2 \geq \ldots \geq a_n$. (Đặt $a_{n+1} = 0$.)

c) Với ký hiệu của IV, p. 66, suy ra rằng $c_s = d_s = 1$ với $a \in D_k$ và $c_{\alpha \beta} = d_{\alpha \beta} = 0$ nếu $\alpha < \beta$.