Exercice 9, § 6

Algèbre, IV, p. 93

a) Soient $K$ un corps, $X_1, \ldots, X_n$ des indéterminées. Montrer que pour des exposants $v_1 < v_2 < \ldots < v_n$ , le déterminant $\det(X_i^{\nu_j})$ n’est pas nul dans $K(X_1, \ldots, X_n)$ .

b) Soient $s_k$ ( $1 \leq k \leq n$ ) les polynômes symétriques élémentaires par rapport aux $X_j$ , et soient $r_1, \ldots, r_n$ $n$ éléments du corps $K(X_1, \ldots, X_n)$ . On pose (pour une nouvelle indéterminée T)

R(T) = \frac{1 + r_1 T + \cdots + r_n T^n}{1 + s_1 T + \cdots + s_n T^n} = 1 + u_1 T + \cdots + u_k T^k + \cdots .

Montrer que si $n$ des coefficients $u_k$ sont nuls, tous les $u_k$ sont nuls. (Décomposer $R(T)$ en fractions simples.) \* c) On suppose $K$ de caractéristique 0. Soit $\{ v_1, v_2, \ldots, v_n \}$ une partie de $n$ éléments $\geq 1$ de $\mathbf{N}$ , et soit $M$ le complémentaire de cette partie de $\mathbf{N}$ ; on suppose que $M$ est stable pour l’addition. Montrer que si $y_1, \ldots, y_n$ sont $n$ éléments de $K(X_1, \ldots, X_n)$ tels que

p_{\nu_j}(y_1, \ldots, y_n) = p_{\nu_j}(X_1, \ldots, X_n)

pour $1 \leq j \leq n$ , on a $y_j = X_j$ pour $1 \leq j \leq n$ à une permutation près. (Considérer le développement de $\log R(T) = v_1 T + v_2 T^2 + \cdots + v_k T^k + \cdots$ , remarquer que $v_{\nu_j} = 0$ pour $1 \leq j \leq n$ , et examiner les relations entre les $v_k$ et les $u_k$ .) \*

Solution

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