Bài tập 9, § 6

Đại số, IV, p. 100

a) Cho K là một trường và $X_1, \ldots, X_n$ là các ẩn. Hãy chứng tỏ rằng với mọi số mũ $v_1 < v_2 < \ldots < v_n$ thì định thức $\det(X_i^{v_j})$ khác không trong $K(X_1, \ldots, X_n)$ .

b) Gọi $s_k$ ( $1 \leq k \leq n$ ) là các đa thức đối xứng cơ bản theo các $X_i$ và $r_1, \ldots, r_n$ là n phần tử của trường $K(X_1, \ldots, X_n)$ . Đặt (với một ẩn mới T)

R(T) = \frac{1 + r_1 T + \cdots + r_n T^n}{1 + s_1 T + \cdots + s_n T^n} = 1 + u_1 T + \cdots + u_k T^k + \cdots.

Hãy chứng tỏ rằng nếu $n$ hệ số $u_k$ bằng không thì mọi $u_k$ đều bằng không. (Phân tích $R(T)$ thành các phân thức đơn.)

*c) Giả sử K có đặc số không. Gọi $\{v_1, v_2, \ldots, v_n\}$ là một tập hợp gồm n phần tử $\geq 1$ của $\mathbf{N}$ , và gọi M là phần bù của tập hợp này trong $\mathbf{N}$ ; giả sử thêm rằng M ổn định dưới phép cộng. Hãy chứng tỏ rằng nếu $y_1, \ldots, y_n$ là n phần tử của $K(X_1, \ldots, X_n)$ sao cho

P_{v_j}(y_1, \ldots, y_n) = P_{v_j}(X_1, \ldots, X_n)

với $1 \leq j \leq n$ , thì $y_j = X_j$ với $1 \leq j \leq n$ , trừ phi sai khác bởi một phép hoán vị. (Xét khai triển của $\log R(T) = v_1 T + v_2 T^2 + \cdots + v_k T^k + \cdots$ , nhận thấy rằng $v_{v_j} = 0$ với $1 \leq j \leq n$ và khảo sát các hệ thức giữa các $v_k$ và các $u_k$ .)*

Lời giải

Chưa có lời giải nào được viết.