Exercice 5, § 1

Soit $\mathfrak{P}$ l’ensemble des nombres premiers et posons $A = \prod_{p \in \mathfrak{P}} F_p$. Pour tout filtre $\mathfrak{F}$ sur $\mathfrak{P}$ (TG, I, p. 36), notons $m_{\mathfrak{F}} \subset A$, l’ensemble des $u = (u_p)_{p \in \mathfrak{P}}$ tels que l’ensemble des $p \in \mathfrak{P}$ tels que $u_p = 0$ soit un élément de $\mathfrak{F}$. Montrer que $m_{\mathfrak{F}}$ est un idéal et qu’on obtient ainsi une bijection entre les idéaux de A distincts de A et les filtres sur $\mathfrak{P}$. Soit $\mathfrak{F}$ un ultrafiltre (TG, I, p. 39) sur $\mathfrak{P}$ qui n’admet pas de limite pour la topologie discrète. Montrer que $A/m_{\mathfrak{F}}$ est un corps de caractéristique 0, isomorphe à un sous-corps de $\mathbf{C}$. \*