Exercice 12, § 10

Soient K un corps infini, N une extension galoisienne de degré n de K, f ∈ K[X] le polynôme minimal d’un élément θ ∈ N tel que N = K(θ). On fait opérer le groupe Γ = Gal(N/K) sur les polynômes de N[X] en opérant sur les coefficients de ces polynômes. a) Soit g ∈ N[X] le polynôme de degré ≤ n − 1 tel que g(θ) = 1, g(σ(θ)) = 0 pour tout σ ≠ 1 dans Γ. Pour tout sous-groupe Δ de Γ, soit p_Δ ∈ N[X] le polynôme det(στ(g))_{σ∈Δ, τ∈Δ}. Montrer que l’on a

et en déduire que p_Δ ≠ 0. b) En déduire qu’il existe un élément α ∈ K tel que, pour tout sous-groupe Δ de Γ, les conjugués de g(α) sur le sous-corps k(Δ) forment une base normale de N sur k(Δ).