Bài tập 12, § 10

Cho K là một trường vô hạn, N là một mở rộng Galois bậc $n$ của K, $f \in K[X]$ là đa thức tối tiểu của một phần tử 0 của N sao cho $N = K(0)$. Nhóm $\Gamma = \mathrm{Gal}(N/K)$ được cho tác động trên các đa thức trong $N[X]$ bằng cách tác động lên các hệ số của các đa thức ấy. a) Cho $g \in N[X]$ là đa thức bậc $\leq n - 1$ sao cho $g(\theta) = 1, g(\sigma(\theta)) = 0$ với mọi $\sigma \neq 1$ trong $\Gamma$. Với mọi nhóm con $A$ của $\Gamma$, đặt $p_A \in N[X]$ là đa thức $\det(\sigma \tau(g))_{\sigma \in A, \tau \in A}$. Chứng minh rằng

và suy ra rằng $p_A \neq 0$. b) Suy ra rằng tồn tại một phần tử $a \in K$ sao cho với mọi nhóm con $A$ của $\Gamma$ các liên hợp của $g(a)$ trên trường con $k(\Delta)$ lập thành một cơ sở chuẩn tắc của N trên $k(\Delta)$.