Exercice 23, § 10

Soit k un corps de caractéristique 2. a) Soient $A_1, \ldots, A_n$ des indéterminées, K le corps $k(A_1, \ldots, A_n)$, E un corps de décomposition du polynôme $P = X^n + A_1 X^{n-1} + \cdots + A_n \in K[X]$, $X_1, \ldots, X_n$ les racines de P dans E, de sorte que $E = k(X_1, \ldots, X_n)$ (V, p. 20). Identifions le groupe de Galois de E/K au groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$ agissant par permutation des variables $X_1, \ldots, X_n$ (V, p. 57). Posons

Alors $\beta \notin K$ et On a $\sigma(\beta) = \beta$ pour $\sigma \in \mathfrak{A}_n$ et $\sigma(\beta) = \beta + 1$ pour $\sigma \in \mathfrak{S}_n - \mathfrak{A}_n$. En déduire que K(β) est l’unique sous-extension quadratique de E/K. b) Soit D $\in \mathbf{Z}[T_1, \ldots, T_n]$ le discriminant du polynôme $X^n + T_1 X^{n-1} + \cdots + T_n$. Montrer qu’il existe Q, R, S $\in \mathbf{Z}[T_1, \ldots, T_n]$ avec

et

Pour tout triplet U, V, W d’éléments de $\mathbf{Z}[T_1, ..., T_n]$ tels que $D = U^2 - 4V + 8W$,

il existe $M \in \mathbf{Z}[A_1, ..., A_n]$ tel que $C = \frac{V(A_1, ..., A_n)}{D(A_1, ..., A_n)} + \left( \frac{M}{D(A_1, ..., A_n)} \right)^2 + \frac{M}{D(A_1, ..., A_n)}$.

c) Soient $f = X^n + a_1 X^{n-1} + \cdots + a_n$ un polynôme séparable de $k[X]$ et G le groupe de Galois d’une de ses extensions de décomposition. Montrer que $(a_1, ..., a_n)$ est substituable dans C et que les conditions suivantes sont équivalentes (i) tout élément de G induit une permutation paire des racines de $f$; (ii) il existe $\alpha \in k$ tel que $C(a_1, ..., a_n) = \alpha^2 + \alpha$. \* d) On suppose désormais que $k$ est fini, et on choisit arbitrairement des éléments U, V, W de $\mathbf{Z}[T_1, ..., T_n]$ satisfaisant à la condition énoncée dans b). Montrer que les conditions (i) et (ii) de c) équivalent aux conditions suivantes: (iii)

(iv) (v) Le nombre de facteurs irréductibles de $f$ est congru à $n$ modulo 2 (utiliser l’exerc. 22 de V, p. 156). \*