Bài tập 23, § 10

Cho k là một trường có đặc số 2. a) Cho A,, ..., A, là các bất định, K là trường $k(A_1, ..., A_n)$, E là một trường phân rã của đa thức $P = X^n + A_1 X^{n-1} + ... + A_n \in K[X]$ và $X_1, ..., X_n$ là các nghiệm của P trong E, sao cho $E = k(X_1, ..., X_n)$ (V, p. 21). Ta đồng nhất nhóm Galois của E/K với nhóm đối xứng $S_n$ tác động bằng các phép hoán vị của các biến $X_1, ..., X_n$ (V, p. 59). Đặt

Khi đó $\beta \notin K$ và Ta có $\sigma(\beta) = \beta$ với $\sigma \in U_n$ và $\sigma(\beta) = \beta + 1$ với $\sigma \in S_n - U_n$. Suy ra rằng $K(\beta)$ là mở rộng con bậc hai duy nhất của $E/K$. b) Cho $D \in \mathbf{Z}[T_1, ..., T_n]$ là biệt thức của đa thức $X^n + T_1 X^{n-1} + ... + T_n$. Hãy chứng minh rằng tồn tại Q, R, S $\in \mathbf{Z}[T_1, ..., T_n]$ sao cho và Với mọi bộ ba phần tử U, V, W của $\mathbf{Z}[T_1, ..., T_n]$ sao cho $D = U^2 - 4V + 8W$ thì tồn tại $M \in \mathbf{Z}[A_1, ..., A_n]$ sao cho c) Cho $f = X^n + a_1 X^{n-1} + ... + a_n$ là một đa thức tách được của $k[X]$ và G là nhóm Galois của một mở rộng phân rã. Hãy chứng minh rằng $(a_1, ..., a_n)$ có thể thay vào trong C và các điều kiện sau là tương đương (i) mọi phần tử của G cảm sinh một phép hoán vị chẵn của các nghiệm của f ; (ii) tồn tại $a \in k$ sao cho $C(a_1, ..., a_n) = a^2 + a$. \* d) Từ đây giả sử rằng k là hữu hạn và chọn các phần tử U, V, W của $\mathbf{Z}[T_1, ..., T_n]$ tùy ý thỏa mãn điều kiện đã phát biểu trong b). Hãy chứng minh rằng (i) và (ii) của c) tương đương với các điều kiện sau : (iii) (iv) (v) Số các nhân tử bất khả quy của f đồng dư với n theo modulo 2 (dùng Bài tập 22 của V, p. 165). \*