Exercice 17, § 11

Soit $P_n$ l’ensemble des polynômes unitaires $X^n + a_1 X^{n-1} + \cdots + a_n$ de $\mathbf{Z}[X]$, dont toutes les racines dans $\mathbf{C}$ ont une valeur absolue $\leq 1$. a) Montrer que l’ensemble $P_n$ est fini. En déduire que, pour tout polynôme $F \in P_n$, si on désigne par $F_h$ le polynôme dont les racines sont les puissances $h$-ièmes des racines de $F$, il existe deux entiers distincts $h, k$ tels que $F_k = F_h$. b) Conclure de $a$ que toutes les racines d’un polynôme $F \in P_n$ sont, soit nulles, soit des racines de l’unité (« théorème de Kronecker »).