Bài tập 17, § 11

Cho $P_n$ là tập hợp các đa thức monic $X^n + a_1 X^{n-1} + \ldots + a_n$, thuộc $\mathbf{Z}[X]$ mà các nghiệm trong $\mathbf{C}$ đều có giá trị tuyệt đối $\leq 1$. a) Chứng minh rằng tập hợp $P_n$ là hữu hạn. Suy ra rằng đối với mọi đa thức $F \in P_n$, nếu $F_h$ là đa thức có các nghiệm là các lũy thừa thứ h của các nghiệm của $F$, thì tồn tại hai số nguyên phân biệt $h, k$ sao cho $F_h = F_k$. b) Kết luận từ a) rằng tất cả các nghiệm của một đa thức $F \in P_n$ hoặc là không hoặc là các căn đơn vị (* định lý Kronecker »).