Exercice 18, § 11

Soient $p \in \mathbf{N}$ un nombre premier, $C_p$ l’extension cyclotomique de niveau $p$ de $\mathbf{Q}$, $\zeta \in C_p$ une racine primitive $p$-ième de l’unité et $n$ un entier. On pose

a) Calculer $d = [\mathbf{Q}(X_n(\zeta)) : \mathbf{Q}]$. Déterminer le groupe de Galois de l’extension $\mathbf{Q}(X_n(\zeta))$ de $\mathbf{Q}$ et les conjugués de $X_n(\zeta)$. b) Soit $T^d + a_1 T^{d-1} + \cdots + a_d$ le polynôme minimal de $X_n(\zeta)$ sur $\mathbf{Q}$. Montrer que $a_1 = 0$. c) On suppose $n > 1$ et $p \equiv 1$ (mod. $n$). Montrer que $a_2 = -\frac{n(n-1)p}{2}$ si $\frac{p-1}{n}$ est pair et que $a_2 = \frac{np}{2}$ si $\frac{p-1}{n}$ est impair. d) On suppose $p \equiv 1$ (mod. $n$). Soit $\beta \in F_p^*$ un élément dont la classe dans $F_p^*/F_p^{*n}$ est un générateur. Soit $\mu$ le nombre de solutions dans $F_p^n$ de l’équation $\sum_{i=1}^n \beta^{i-1} X_i^n = 0$. Montrer que e) Calculer $a_3$ lorsque $n = 3$ et $p = 7, 13, 19$.