Bài tập 18, § 11

Cho $p \in \mathbf{N}$ là một số nguyên tố, $C_p$ là mở rộng cyclotomic cấp $p$ của $\mathbf{Q}$, $\zeta \in C_p$ là một nghiệm nguyên thủy bậc p của đơn vị và $n$ là một số nguyên. Viết

a) Tính $d = [\mathbf{Q}(X_n(\zeta)) : \mathbf{Q}]$. Xác định nhóm Galois của mở rộng $\mathbf{Q}(X_n(\zeta))$ của $\mathbf{Q}$ và các liên hợp của $X_n(\zeta)$. b) Gọi $T^d + a_1 T^{d-1} + \ldots + a_d$ là đa thức tối tiểu của $X_n(\zeta)$ trên $\mathbf{Q}$. Chứng minh rằng $a_1 = 0$. c) Giả sử rằng $n > 1$ và $p \equiv 1 \pmod{n}$. Chứng minh rằng $a_1 = -\frac{n(n-1)p}{2}$ nếu $\frac{p-1}{n}$ chẵn và $a_1 = \frac{np}{2}$ nếu $\frac{p-1}{n}$ lẻ. d) Giả sử rằng $p \equiv 1 \pmod{n}$. Gọi $\beta \in \mathbf{F}_p^*$ là một phần tử mà lớp thặng dư của nó trong $\mathbf{F}_p^*/\mathbf{F}_p^{*n}$ là một phần tử sinh. Gọi $\mu$ là số nghiệm trong $\mathbf{F}_p^n$ của phương trình $\sum_{i=1}^n \beta^{i-1} X_i^n = 0$. Chứng minh rằng $a_1 = \frac{(-1)^n p (\mu - p^{n-1})}{p-1}$ e) Tính $a_1$ khi $n = 3$ và $p = 7, 13, 19$.

\* ^1 Mở rộng phân nhánh hoàn toàn lớn nhất của trường $\mathbf{Q}_p$ các số p-adic trong bao đóng đại số của nó là một trường có đặc số 0 với cùng tính chất. \*