Exercice 21, § 11

Soient $G$ et $H$ deux groupes commutatifs dont les éléments sont de torsion tels que pour tout entier $n$, l’équation $nx = 0$ possède le même nombre fini de solutions dans $G$ et dans $H$. Montrer que $G$ est isomorphe à $H$. (Décomposer $G$ et $H$ en sommes directes de groupes de $p$-torsion et appliquer l’exerc. 20.) Soient $G = \bigoplus_{i \in \mathbf{N}} \mathbf{Z}/p^i\mathbf{Z}$ et $H = \bigoplus_{i \in \mathbf{N}} \mathbf{Z}/p^{2i}\mathbf{Z}$. Montrer que $G$ et $H$ ne sont pas isomorphes et que pour tout entier $n$ le cardinal de l’ensemble des solutions de l’équation $nx = 0$ est le même dans $G$ et dans $H$. \*