Bài tập 21, § 11

Cho $G$ và $H$ là hai nhóm xoắn giao hoán sao cho với mọi số nguyên $n$, phương trình $nx = 0$ có cùng một số hữu hạn nghiệm trong $G$ và trong $H$. Chứng minh rằng $G$ đẳng cấu với $H$. (Phân tích $G$ và $H$ thành các tổng trực tiếp của các nhóm xoắn-$p$ và áp dụng Bài tập 20.) Cho $G = \bigoplus_{i \in \mathbf{N}} \mathbf{Z}/p^i\mathbf{Z}$ và $H = \bigoplus_{i \in \mathbf{N}} \mathbf{Z}/p^{2i}\mathbf{Z}$. Chứng minh rằng $G$ và $H$ không đẳng cấu và rằng với mỗi số nguyên $n$ thì lực lượng của tập hợp các nghiệm của phương trình $nx = 0$ là như nhau trong $G$ và trong $H$.