Exercice 22, § 11

a) Soient $k$ un corps, $f$ un polynôme unitaire séparable de $k[X]$, $D$ une extension de décomposition de $f$, $x_1, \ldots, x_n$ les racines de $f$ dans $D$, et $G$ le groupe de Galois de $D$ sur $k$. On suppose $G$ cyclique. Démontrer que pour que tout élément de $G$ induise une permutation paire des $x_i$, il faut et il suffit que le nombre de facteurs irréductibles de $f$ soit congru au degré de $f$ modulo 2 (considérer un générateur $\sigma$ de $G$, et la décomposition en cycles de la permutation des $x_i$ induite par $\sigma$). b) On suppose de plus que $k$ est de caractéristique $\neq 2$. Montrer que les deux conditions précédentes équivalent au fait que le discriminant de $f$ soit un carré dans $k$ (« théorème de Stickelberger »).