Bài tập 22, § 11

a) Cho $k$ là một trường, $f$ là một đa thức đơn khởi tách được trong $k[X]$, $D$ là một mở rộng tách của $f$, $x_1, \ldots, x_n$ là các nghiệm của f trong $D$ và $G$ là nhóm Galois của $D$ trên $k$. Giả sử rằng $G$ là cyclic. Hãy chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để mọi phần tử của $G$ cảm sinh một phép hoán vị chẵn của các $x_i$ là số các thừa số bất khả quy của $f$ phải đồng dư với bậc của $f \mod 2$ (hãy xét một phần tử sinh $\sigma$ của $G$ và sự phân tích thành chu trình của phép hoán vị của các $x_i$ được cảm sinh bởi $u$). b) Giả sử thêm rằng $k$ có đặc số $\neq 2$. Hãy chứng minh rằng hai điều kiện trên là tương đương với việc biệt thức của $f$ là một bình phương trong $k$ (« định lý Stickelberger »).