Exercice 11, § 12

Soit f un polynôme unitaire de $\mathbf{Z}[X]$, irréductible dans $\mathbf{Q}[X]$, et soit p un nombre premier tel que l’image canonique $\bar{f}$ de f dans $\mathbf{F}_p[X]$ soit un polynôme sans racine multiple. Si $\Gamma$ (resp. $\overline{\Gamma}$) est le groupe de Galois du polynôme f (resp. $\bar{f}$) sur $\mathbf{Q}$ (resp. $\mathbf{F}_p$), définir un isomorphisme d’un sous-groupe de $\Gamma$ sur $\overline{\Gamma}$. En déduire que si $\bar{f} = g_1 g_2 \ldots g_r$ où les $g_j$ sont irréductibles dans $\mathbf{F}_p[X]$, et si $g_j$ est de degré $n_j$ (de sorte que f est de degré $n = n_1 + n_2 + \cdots + n_r$), le groupe $\Gamma$, considéré comme sous-groupe de $\mathfrak{S}_n$, contient un produit $\sigma_1 \sigma_2 \ldots \sigma_r$ de cycles de supports disjoints, $\sigma_j$ étant d’ordre $n_j$ pour $1 \leq j \leq r$ (cf. I, p. 60). Généraliser au cas où f n’est pas unitaire, mais où son coefficient dominant n’est pas divisible par p.