Bài tập 11, § 12

Cho f là một đa thức đơn khởi trong $\mathbf{Z}[X]$, bất khả quy trong $\mathbf{Q}[X]$, và cho p là một số nguyên tố sao cho ảnh chính tắc $\overline{f}$ của f trong $\mathbf{F}_p[X]$ là một đa thức không có nghiệm bội. Nếu $\Gamma$ (tương ứng $\Gamma'$) là nhóm Galois của đa thức f (tương ứng $\overline{f}$) trên $\mathbf{Q}$ (tương ứng $\mathbf{F}_p$), hãy định nghĩa một đẳng cấu từ một nhóm con của $\Gamma$ lên $\Gamma'$. Suy ra rằng nếu $\overline{f} = g_1 g_2 \ldots g_r$ trong đó các $g_j$ là bất khả quy trong $\mathbf{F}_p[X]$ và nếu $g_j$ có bậc $n_j$ (để f có bậc $n = n_1 + n_2 + \ldots + n_r$), thì nhóm $\Gamma$, với tư cách là nhóm con của $\mathfrak{S}_n$, chứa một tích $\sigma_1 \sigma_2 \ldots \sigma_r$ các chu trình có giá đỡ rời nhau, với $\sigma_j$ có cấp $n_j$ đối với $1 \leq j \leq r$ (xem I, p. 62). Tổng quát hóa cho trường hợp f không đơn khởi, nhưng hệ số đầu của nó không chia được cho p.