Exercice 14, § 12

Soient K un corps fini, commutatif ou non, Z son centre, q le nombre d’éléments de Z, n le rang $[K : Z]$. a) Si E est un sous-corps de K contenant Z, montrer que $[E : Z]$ divise $n$. b) Soit $x \in K$ un élément n’appartenant pas à Z ; montrer que le nombre des conjugués distincts $yxy^{-1}$ de $x$ dans $K^*$ est de la forme $(q^n - 1)/(q^d - 1)$, où $d$ divise $n$ et est distinct de $n$ (considérer dans K l’ensemble des éléments permutables avec $x$, et utiliser $a$). c) Déduire de b) que $q - 1$ est divisible par l’entier $\Phi_n(q)$ (décomposer le groupe $K^*$ en classes d’éléments conjugués, et utiliser la relation (6) de V, p. 78). d) Montrer que si $n > 1$, on a $\Phi_n(q) > (q - 1)^{\varphi(n)}$ (décomposer $\Phi_n(X)$ dans le corps $\mathbf{C}$ des nombres complexes). En déduire que l’on a nécessairement $K = Z$, autrement dit que K est nécessairement commutatif (théorème de Wedderburn). \*