Bài tập 14, § 12

Cho $K$ là một trường hữu hạn, giao hoán hoặc không, $Z$ là tâm của nó, $q$ là số phần tử của $Z$ và $n$ là hạng $[K : Z]$. a) Nếu $E$ là một trường con của $K$ chứa $Z$, hãy chứng tỏ rằng $|E : Z|$ là ước của $n$. b) Cho $x \in K$ là một phần tử không thuộc $Z$; hãy chứng tỏ rằng số các liên hợp phân biệt $yxy^{-1}$ của $x$ trong $K^*$ có dạng $(q^n-1)/(q^d-1)$, trong đó $d$ là ước của $n$ và phân biệt với $n$ (xét trong $K$ tập hợp các phần tử giao hoán với $x$, và dùng a)). c) Suy ra từ b) rằng $q-1$ chia hết cho số nguyên $\Phi_n(q)$ (phân hoạch nhóm $K^*$ thành các lớp liên hợp và dùng quan hệ (6) của V, p. 82). d) Hãy chứng tỏ rằng nếu $n > 1$, thì $\Phi_n(q) > (q-1)^{\varphi(n)}$ (phân tích $\Phi_n(X)$ trong trường $\mathbf{C}$ của các số phức). Suy ra rằng phải có $K = Z$, nói cách khác, $K$ tất yếu là giao hoán (định lý Wedderburn).