Exercice 5, § 12

Soient $K$ un corps fini à $q$ éléments où $q$ n’est pas une puissance de 2, $a_1,\ a_2,\ b$ trois éléments de $K$ tels que $a_1 a_2 \neq 0$. Montrer que le nombre $\nu$ des solutions $(x_1,\ x_2) \in K^2$ de l’équation $a_1 x_1^2 + a_2 x_2^2 = b$ est donné par les formules suivantes : 1° si $b = 0$ et si $-a_1 a_2$ n’est pas un carré dans $K$, $\nu = 1$; 2° si $b \neq 0$ et si $-a_1 a_2$ n’est pas un carré dans $K$, $\nu = q + 1$; 3° si $b = 0$ et si $-a_1 a_2$ est un carré dans $K$, $\nu = 2q - 1$; 4° si $b \neq 0$ et si $-a_1 a_2$ est un carré dans $K$, $\nu = q - 1$. (Lorsque $-a_1 a_2$ n’est pas un carré, adjoindre à $K$ une racine de $X^2 + a_1 a_2$ et utiliser le fait que le groupe multiplicatif d’un corps fini est cyclique.)