Bài tập 5, § 12

Cho K là một trường hữu hạn có q phần tử, trong đó q không phải là một lũy thừa của 2, và cho a,, a,, b là ba phần tử của K sao cho $a_1a_2 \neq 0$. Chứng tỏ rằng số $\nu$ các nghiệm $(x_1, x_2) \in K^2$ của phương trình $a_1x_1^2 + a_2x_2^2 = b$ được cho bởi các công thức sau : 1" nếu $b = 0$ và $-a_1a_2$ không phải là một bình phương trong K, $\nu = 1$; 2" nếu $b \neq 0$ và $-a_1a_2$ không phải là một bình phương trong K, $\nu = q + 1$; 3" nếu $b = 0$ và $-a_1a_2$ là một bình phương trong K, $\nu = 2q - 1$; 4" nếu $b \neq 0$ và $-a_1a_2$ là một bình phương trong K, $\nu = q - 1$. (Khi $-a_1a_2$ không phải là một bình phương, hãy ghép vào K một nghiệm của $X^2 + a_1a_2$ và dùng sự kiện rằng nhóm nhân của một trường hữu hạn là cyclic.)