Exercice 9, § 12

Soient $K$ un corps fini à $q$ éléments, et soit $r = q^n$ pour un entier $n \geq 1$. Pour tout polynôme $P(X) = \sum_{j=0}^m a_j X^j$ de $K[X]$, on pose

et

a) Montrer que si P, Q sont deux polynômes de K[X] et si R = PQ, on a $\tilde{R}(X) = \tilde{P}(\tilde{Q}(X))$. En déduire que pour que deux polynômes F, G de K[X] soient tels que F divise G, il faut et il suffit que $\hat{F}$ divise $\hat{G}$. (Pour voir que la condition est suffisante, considérer la division euclidienne de G par F.) b) Soit F un polynôme irréductible de K[X], et soit G un polynôme de K[X]. S’il existe un entier $d \geq 1$ tel que $\hat{F}(X^d)$ et $\hat{G}(X^d)$ aient une racine commune, montrer que F divise G. (Si H est le pgcd de $\hat{F}(X^d)$ et $\hat{G}(X^d)$, considérer l’ensemble des polynômes $P \in K[X]$ tels que H divise $\hat{P}(X^d)$.) c) Tout polynôme $F \neq 0$ de K[X] divise un polynôme de la forme $X^N - 1$. Montrer que si $r - 1 = de$, et si $\alpha$ est une racine de $\hat{F}(X^d)$, $\alpha$ appartient à l’extension de K de degré $nN$, et en déduire que le degré de tout facteur irréductible de $\hat{F}(X^d)$ dans K[X] divise $nN$ (utiliser a)). Si en outre e et $dN$ sont premiers entre eux, et si m est le degré de $\alpha$ sur l’extension de K de degré n, montrer que m divise N (utiliser le fait que $(r^N - 1)/e \equiv dN$ (mod. e)). d) Les notations étant celles de c), on suppose que F est irréductible et que N est le plus petit des entiers h tels que F divise $X^h - 1$. Si alors e et $dN$ sont premiers entre eux, et si tout facteur premier de n divise N, montrer que tout facteur irréductible de $\hat{F}(X^d)$ est de degré $nN$. (Noter qu’en vertu de b), on a alors $m = N$.) e) Déduire en particulier de d) que si $P(X) = \sum_j a_j X^j$ est un polynôme irréductible de K[X] et si N est le plus petit des entiers h tels que P(X) divise $X^h - 1$, alors tout facteur irréductible de $\sum_j a_j X^{q^j - 1}$ est de degré N.