Bài tập 9, § 12

Cho K là một trường hữu hạn có q phần tử và đặt $r = q^n$ với một số nguyên $n \geq 1$. Với mọi đa thức $P(X) = \sum_{j=0}^m a_j X^j$ của $K[X]$, đặt

và

a) Chứng minh rằng nếu P, Q là hai đa thức trong $K[X]$ và nếu $R = PQ$, thì ta có $\tilde{R}(X) = \tilde{P}(\tilde{Q}(X))$. Suy ra rằng điều kiện cần và đủ để với hai đa thức F, G của $K[X]$ thì F chia hết G là $\hat{F}$ chia hết $\hat{G}$. (Để thấy điều kiện là đủ, hãy xét phép chia Euclid của G cho F.) b) Cho F là một đa thức bất khả quy trong $K[X]$ và G là một đa thức bất kỳ trong $K[X]$. Nếu tồn tại một số nguyên d $\geq 1$ sao cho $\hat{F}(X^d)$ và $\hat{G}(X^d)$ có một nghiệm chung, hãy chứng minh rằng F chia hết G. (Nếu H là UCLN của $\hat{F}(X^d)$ và $\hat{G}(X^d)$, hãy xét tập hợp các đa thức $P \in K[X]$ sao cho H chia hết $\hat{P}(X^d)$.) c) Mọi đa thức $F \neq 0$ của $K[X]$ đều chia hết một đa thức có dạng $X^N - 1$. Chứng minh rằng nếu $r-1 = de$ và nếu $\alpha$ là một nghiệm của $\hat{F}(X^d)$, thì a thuộc mở rộng của K bậc $nN$, và suy ra rằng bậc của mọi nhân tử bất khả quy của $\hat{F}(X^d)$ trong $K[X]$ đều chia hết $nN$ (dùng a)). Nếu thêm nữa e và $dN$ nguyên tố cùng nhau, và nếu m là bậc của $\alpha$ trên mở rộng của K bậc $n$, hãy chứng minh rằng $m$ chia hết N (dùng sự kiện rằng $(r^N - 1)/e \equiv dN$ (mode)). d) Với các ký hiệu như trong c), giả sử F là bất khả quy và N là số nguyên nhỏ nhất h sao cho F chia hết $X^h - 1$. Nếu e và $dN$ nguyên tố cùng nhau, và nếu mọi ước nguyên tố của $n$ đều chia hết N, hãy chứng minh rằng mọi nhân tử bất khả quy của $\hat{F}(X^d)$ đều có bậc $nN$. (Chú ý rằng theo b) khi đó ta có $m = N$.) e) Suy ra đặc biệt từ d) rằng nếu $P(X) = \sum_j a_j X^j$ là một đa thức bất khả quy trong $K[X]$ và nếu N là số nguyên nhỏ nhất h sao cho $P(X)$ chia hết $X^h - 1$, thì mọi nhân tử bất khả quy của $\sum u_j X^{q^j - 1}$ đều có bậc N.