Exercice 1, § 15

Soient K un corps de caractéristique $p > 0$, E une extension de K, B une $p$-base de E sur $K(E^p)$ (V, p. 93). a) On suppose que $E \subset K^{p^{-1}}$; soit $K_0$ un sous-corps de K tel que E soit séparable sur $K_0$. Montrer que l’ensemble $B^p$ est une partie $p$-indépendante sur $K_0(K^p)$ (observer que si $(a_\lambda)$ est une base du $K_0$-espace vectoriel K, $(a_\lambda^p)$ est une base de $K_0(K^p)$ sur $K_0$). Soit C une partie de K, disjointe de $B^p$ et telle que $B^p \cup C$ soit une $p$-base de K sur $K_0(K^p)$; montrer que $B \cup C$ est une $p$-base de E sur $K_0(E^p)$. b) On suppose que $E \subset K^{p^{-n}}$ et que E soit séparable sur un sous-corps $K_0$ de K. Montrer que si le degré d’imperfection de K sur $K_0$ est fini (V, p. 160, exerc. 1), il est égal au degré d’imperfection de E sur $K_0$ (utiliser a)).