Bài tập 1, § 15

Cho K là một trường có đặc số p > 0, E là một mở rộng của K và B là một p-cơ sở của E trên $K(E^p)$ (V, p. 98). a) Giả sử rằng $E \subset K^{p^{-1}}$; gọi $K_0$ là một trường con của K sao cho E tách được trên $K_0$. Hãy chứng minh rằng tập $B^p$ là một tập con p-độc lập trên $K_0(K^p)$ (chú ý rằng nếu (a,) là một cơ sở của không gian vectơ $K_0$ $K$, thì $(a_\lambda^p)$ là một cơ sở của $K_0(K^p)$ trên $K_0$. Gọi $C$ là một tập con của $K$, rời với $B^p$ và sao cho $B^p \cup C$ là một p-cơ sở của $K$ trên $K,(K^p)$; hãy chứng minh rằng $B \cup C$ là một p-cơ sở của $E$ trên $K_0(E^p)$.

b) Giả sử rằng $E \subset K^{p^{-n}}$ và rằng $E$ tách được trên một trường con $K_0$ của $K$. Hãy chứng minh rằng nếu bậc bất toàn của $K$ trên $K_n$ là hữu hạn (V, p. 170. Ex. 1), thì nó bằng bậc bất toàn của $E$ trên $K_0$ (dùng a)).