Exercice 6, § 15

Soient K un corps de caractéristique $p > 0$, E une extension séparable de K, B une $p$-base de E sur $K(E^p)$. a) Montrer que B est algébriquement libre sur K (considérer une relation algébrique de plus petit degré possible entre les éléments de B, et mettre les degrés des variables qui y figurent sous la forme $kp + h$ avec $0 \leq h \leq p - 1$). En déduire que si $\deg.\operatorname{tr}_K E < + \infty$, le degré d’imperfection de E sur K est au plus égal à $\deg.\operatorname{tr}_K E$. b) Montrer que E est séparable et relativement parfait sur $K(B)$.