Bài tập 6, § 15

Cho $K$ là một trường có đặc số $p > 0$, $E$ là một mở rộng tách được của $K$ và $B$ là một p-cơ sở của $E$ trên $K(E^p)$. a) Chứng minh rằng $B$ là đại số tự do trên $K$ (xét một quan hệ đại số có bậc nhỏ nhất giữa các phần tử của $B$ và viết các bậc của các biến xuất hiện dưới dạng $kp + h$ với $0 \leq h \leq p - 1$). Suy ra rằng nếu $\operatorname{tr. deg}_K E < +\infty$, thì bậc không hoàn hảo của $E$ trên $K$ nhiều nhất bằng $\operatorname{tr. deg}_K E$. b) Chứng minh rằng $E$ là một mở rộng tách được và hoàn hảo tương đối của $K(B)$.