Exercice 8, § 15

Si E est une extension algébrique séparable d’un corps K de caractéristique $p > 0$, la plus grande sous-extension parfaite $E^{p^\infty}$ de E (intersection des corps $E^{p^n}$ pour $n \geq 0$) est algébrique sur le plus grand sous-corps parfait $K^{p^\infty}$ de K. (Si $x \in E^{p^\infty}$, montrer que pour tout entier $n > 0$, on a $x^{p^{-n}} \in K(x)$ et en déduire que le polynôme minimal de x sur $K^{p^n}$ est le même que son polynôme minimal sur K.)