Exercice 9, § 15

Soient E un corps, G un groupe d’automorphismes de E, K le sous-corps de E formé des éléments invariants par G. a) Montrer que pour tout sous-corps L de E, stable pour les éléments de G, L et K sont linéairement disjoints sur $L \cap K$. (Considérer une relation linéaire $\sum_j \lambda_j x_j = 0$ entre des éléments $x_j \in K$, linéairement indépendants sur $L \cap K$, avec $\lambda_j \in L$ non tous nuls, le nombre d’éléments $\lambda_j \neq 0$ étant le plus petit possible.) b) Si $L \cap K$ est le corps des invariants d’un groupe d’automorphismes de $K$, montrer que $L$ est le corps des invariants d’un groupe d’automorphismes de $L(K)$.